Triangulos equilateros isosceles y escalenos

Triangulos equilateros isosceles y escalenos

Triángulo isósceles

Si has prestado la más mínima atención a los triángulos, sabrás que existen todo tipo de formas y tamaños. Lo que puede llevarle a preguntarse cómo clasificamos y describimos exactamente las formas de estos objetos en el zoológico triangular.

Antes de saber cómo se clasifican los distintos tipos de triángulos, vamos a dedicar un minuto a establecer qué queremos decir exactamente con «triángulo». Afortunadamente, el significado está ahí mismo en la palabra: «tri» o tres y «ángulo» o, bueno, ángulo-tres ángulos. Que es, por supuesto, exactamente el número de ángulos que tienen todos y cada uno de los triángulos que conoces y amas. Obviamente, no es una gran sorpresa.

Hay muchos otros datos divertidos que hay que conocer sobre los triángulos, como el hecho de que la suma de los ángulos de todos y cada uno de los triángulos existentes debe ser siempre igual a 1800. ¿Por qué? Lo descubriremos en un próximo episodio, pero por ahora lo dejaremos así y pasaremos a averiguar cómo podemos describir los distintos tipos de triángulos que encontramos.

Triángulo

De las figuras trilaterales, un triángulo equilátero es el que tiene sus tres lados iguales, un triángulo isósceles el que tiene dos de sus lados solos iguales, y un triángulo escaleno el que tiene sus tres lados desiguales.

Además, de las figuras trilaterales, un triángulo rectángulo es el que tiene un ángulo recto, un triángulo obtuso el que tiene un ángulo obtuso y un triángulo acutángulo el que tiene sus tres ángulos agudos.

El triángulo escaleno C no tiene simetrías, pero el triángulo isósceles B tiene una simetría bilateral. El triángulo equilátero A no sólo tiene tres simetrías bilaterales, sino que también tiene simetrías de rotación de 120º.

Según esta definición, un triángulo equilátero no debe considerarse un triángulo isósceles. El término triángulo isósceles se utiliza por primera vez en la proposición I.5 y posteriormente en los libros II y IV. La forma en que se utiliza el término triángulo isósceles en los Elementos no excluye los triángulos equiláteros. Esto concuerda con la práctica moderna. Sólo se requiere que al menos dos lados sean iguales para que un triángulo sea isósceles.

Fórmula del triángulo isósceles

En geometría, un triángulo isósceles es un triángulo que tiene dos lados de igual longitud. A veces se especifica que tiene exactamente dos lados de igual longitud, y a veces que tiene al menos dos lados de igual longitud, incluyendo en esta última versión el triángulo equilátero como caso especial.

El estudio matemático de los triángulos isósceles se remonta a las antiguas matemáticas egipcias y babilónicas. Los triángulos isósceles se han utilizado como decoración desde épocas aún más tempranas, y aparecen con frecuencia en la arquitectura y el diseño, por ejemplo en los frontones y aguilones de los edificios.

Los dos lados iguales se llaman catetos y el tercer lado se llama base del triángulo. Las demás dimensiones del triángulo, como la altura, el área y el perímetro, pueden calcularse mediante fórmulas sencillas a partir de las longitudes de los catetos y la base.

Todo triángulo isósceles tiene un eje de simetría a lo largo de la bisectriz de su base. Los dos ángulos opuestos a los catetos son iguales y siempre agudos, por lo que la clasificación del triángulo como agudo, recto u obtuso sólo depende del ángulo entre sus dos catetos.

Triángulo escaleno

¿De esto debo deducir que la solución nunca debe funcionar cuando el $\triángulo$ABC es isósceles o equilátero? Es decir, ¿el conjunto de triángulos escalenos incluye los casos especiales de triángulos isósceles y equiláteros?

No creo que haya un debate sobre la in/exclusividad de «escaleno» como el que hay con «isósceles» frente a «equilátero» (o «rectángulo» frente a «cuadrado», o «trapecio» frente a «paralelogramo», etc.). El término parece existir precisamente para garantizar que no hay simetrías que puedan hacer coincidir elementos -por ejemplo, una altitud, una mediana, y/o una bisectriz de un ángulo desde un vértice-, de modo que las construcciones que se basan en elementos distintos no degeneren. Por el momento, no se me ocurre un ejemplo especialmente bueno que «se estropee» para los triángulos isósceles, pero observaré que la recta de Euler es indefinida para los equiláteros, debido a la coincidencia de todos los «centros de triángulo» clave que, de otro modo, la determinarían de forma única.

En cuanto a si se debe (ejem) «[inferir] que la solución no debe funcionar nunca cuando el $\triángulo ABC$ es isósceles o equilátero» … Es posible que la simetría haga fracasar por completo la solución de un problema (piense en la recta de Euler), pero también es posible que una configuración isósceles/equilátera equivalga a una «forma límite» de la propiedad que se discute; en este último caso, dicha forma bien podría considerarse válida desde un punto de vista adecuado, pero es posible que el presentador no quiera (todavía) cargar la discusión con tales matices. Por lo tanto, no hay que deducir «nunca».